問題
を負の実数とする。座標空間に原点と3点，，があり，3点，，が定める平面をとする。また，点から平面に垂線を下ろし，との交点をとする。
(1) 点の座標をを用いて表せ。
(2) 点がの周または内部にあるようなの範囲を求めよ。
出典：北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
文系第1問と同じ射影の構造で、 を と表して垂直条件を立てる。理系では(1)が座標を求める設問なので、求めた を必ず座標に戻す。別解として、平面 の法線ベクトルから平面方程式を作り、点 から法線方向へ動かす形でも同じ射影点が得られる。
解答
(1)
である。点 は平面 上にあるから とおく。このとき である。 は平面 に垂直なので、 は と の両方に垂直である。したがって
である。ここで なので、内積を計算して を得る。これを解くと である。
よって
となる。したがって
である。
(2)
点 が三角形 の周または内部にある条件は である。(1)の を代入すると
である。これらはそれぞれ を与える。したがって である。
別解。
を計算すると、平面 の法線ベクトルとして を取れる。よって平面 の方程式は である。垂線の足 は と書ける。これを平面方程式に代入すると より である。したがって
となり、同じ結果を得る。