問題
図のような格子状の道路がある。S地点を出発して，東または北に進んでG地点に到達する経路を考える。ただし太い実線で描かれた区間を通り抜けるのに1分，点線で描かれた区間を通り抜けるのに8分，それ以外の各区間を通り抜けるのに2分かかるものとする。たとえば，図の矢印に沿った経路ではSを出発しGに到達するまでに16分かかる。
% 図は省略
(1) を通り抜ける経路は何通りあるか。
(2) を通り抜けずにを通り抜ける経路は何通りあるか。
(3) すべての経路から任意に1つ選んだとき，S地点からG地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ。
方針
図を 、 の4×4格子として読み取る。区間 は から への東向き区間、区間 は から への北向き区間である。各区間を通る経路数は、その区間の始点までの経路数と終点から までの経路数の積で数える。(3) は全経路70通りを等確率とし、通常の8区間16分を基準に、 通過で1分減、 通過で6分増えると見て期待値を求める。
解答
図の格子点を とおく。東へ進むことを 座標を1増やすこと、北へ進むことを 座標を1増やすことと見る。 から までは、東へ4回、北へ4回、合計8回進む。したがって全経路数は 通りである。
(1)
図より、区間 は の東向き区間である。 から までは、東1回、北1回の順序を決めればよいので 通りである。また、 から までは、東2回、北3回、合計5回の順序を決めればよいので 通りである。
したがって を通り抜ける経路は である。
(2)
図より、区間 は の北向き区間である。
まず を通る経路を数える。 から までは、東4回、北2回、合計6回の順序を決めればよいから 通りである。 から までは北へ1回進むだけなので1通りである。よって を通る経路は15通りである。
この中から、 も通る経路を除く。 を通ってから を通るには、 から まで東2回、北1回進む必要がある。この部分は 通りである。 から までは2通りなので、 と の両方を通る経路は 通りである。
したがって、 を通り抜けずに を通り抜ける経路は である。
(3)
すべての区間に2分かかるとすれば、どの経路も8区間を通るので である。
実際には、区間 は2分ではなく1分なので、 を通る経路では基準より1分短い。また、区間 は2分ではなく8分なので、 を通る経路では基準より6分長い。
全70通りの経路を等確率で選ぶので である。ここで については、 を通るかどうかに関係なく、通れば6分増えるので15通り全体を用いる。
したがって期待値は
である。よって である。