北海道大学 2010年度
文理共通数学 前期 第1問

解答

(1) 直線を $y=mx+n$ とおく。これが $C_1:y=x^2$ に接するためには，$x^2=mx+n$ が重解をもてばよい。すなわち判別式より $m^2+4n=0,$ したがって $n=-\frac{m^2}{4}$ である。

同じ直線が $C_2:y=x^2-4ax+4a$ にも接する条件を調べると，$x^2-4ax+4a=mx+n$ すなわち $x^2-(4a+m)x+4a-n=0$ が重解をもつから，$(4a+m{)}^2-4(4a-n)=0$ である。ここに $n=-m^2/4$ を代入すると $(4a+m{)}^2-16a-m^2=0$ となる。整理して $16a^2+8am-16a=0.$ $a>0$ より両辺を $8a$ で割ると $2a+m-2=0,$ したがって $m=2(1-a)$ である。よって $n=-\frac{\{2(1-a){\}}^2}{4}=-(1-a{)}^2$ となり，求める共通接線は $\boxed{y=2(1-a)x-(1-a{)}^2}$ である。

(2) 接点の位置も確認しておく。$C_1$ において接線の傾きは $2x$ であるから，接点の $x$ 座標は $2x=2(1-a),x=1-a$ である。また $C_2$ の傾きは $2x-4a$ なので，$2x-4a=2(1-a),x=1+a$ である。

一方，2つの放物線の交点は $x^2=x^2-4ax+4a$ より $4a(1-x)=0$ であり，$a>0$ だから $x=1$ である。したがって，囲まれる領域は $x=1-a$ から $x=1$ までは $C_1$ と接線の間，$x=1$ から $x=1+a$ までは $C_2$ と接線の間に分けて計算できる。

$C_1$ と接線の差は $x^2-\{2(1-a)x-(1-a{)}^2\}=(x-(1-a){)}^2.$ また $C_2$ と接線の差は $x^2-4ax+4a-\{2(1-a)x-(1-a{)}^2\}=(x-(1+a){)}^2.$ よって面積 $S$ は $S={\int }_{1-a}^1(x-(1-a){)}^{2}dx+{\int }_1^{1+a}(x-(1+a){)}^{2}dx.$ それぞれ $u=x-(1-a)$，$v=x-(1+a)$ と見れば $S={\int }_0^a{u}^{2}du+{\int }_{-a}^0{v}^{2}dv=\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}.$ したがって $\boxed{S=\frac{2a^3}{3}}$ である。