問題
図はある三角錐の展開図である．ここで，，，では正三角形である．このとき，の体積を求めよ．
出典：北海道大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 前期 第4/1問
方針
展開図でとして現れている点は，折り上げると三角錐の同じ頂点になる。この頂点をとし，底面を座標平面上に置く。正三角形から，直角条件からを読み取り，の座標と底面からの高さを求める。最後に底面積を用いて体積を計算する。
解答
展開図を折り上げたとき，図中のは三角錐の同じ頂点になる。この頂点をとする。
底面を平面上に置き， とする。，，なので，確かにである。，とおく。
展開図では正三角形であるから，折り上げ後も である。したがって および が成り立つ。これらを引くと より である。
また，展開図の条件は，折り上げ後に となることを意味する。ここで であるから，内積をとると である。よって である。
これをの式に代入して より である。だから，三角錐の底面からの高さは である。
底面は直角三角形であり，その面積は である。したがって求める体積は である。