問題
半径1の球に内接する正四面体の一辺の長さを求めよ．
出典：北海道大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 前期 第1/5問
方針
正四面体の外接球半径と一辺の比を求めればよい。座標解法では、 を頂点にもつ正四面体を用意し、その一辺と外接球半径を計算して相似で半径1の場合へ直す。幾何的には、底面の重心と頂点を結ぶ高さを使い、外接球の中心がその高さ上にあることから半径を求める方法も自然である。
解答
解法1
次の4点を考える。 このとき、例えば であり、同様に他の辺の長さもすべて である。したがってこの4点は正四面体の頂点である。
また原点から各頂点までの距離は である。よって、この正四面体の外接球の半径は 、一辺の長さは である。
一辺の長さを 、外接球の半径を とすると、相似により である。いま だから となる。したがって である。求める一辺の長さは である。
別解。
正四面体の一辺を とし、底面を正三角形 、その重心を 、頂点を とする。正三角形の重心から頂点までの距離は である。したがって正四面体の高さ は より である。
外接球の中心 は対称性により直線 上にある。 とおくと、外接球半径は であり、また である。 だから となる。整理して である。ここで なので となり、 である。したがって外接球半径 は である。 として を得る。