問題
(1) 次の不等式の表す領域を図示せよ．
(2) 点をとし，点を直線がに接するような領域の点とする．点がを動くとき三角形の面積の最大値を求めよ．
(3) 領域の点についてがとる値の範囲を求めよ．
方針
領域 は下側が折れ線 、上側が放物線 である。まず交点を求めて図示範囲を決める。(2)では点 から放物線へ引ける接線のうち、接点が の範囲にあるものを選んで を決める。三角形 の面積は、底辺 を固定したとき点 から直線 までの距離に比例するので、 の最大化に帰着する。(3)の分数は点 と を結ぶ直線の傾きなので、最小は下端 、最大は上側放物線への接線で決まる。
解答
(1)
下側の境界は 、上側の境界は である。交点を求める。 では より であるから、正の解は である。 では より であるから、負の解は である。
したがって領域 は の範囲で、下側を 、上側を で挟まれた部分である。
(2)
放物線 の における接線を求める。導関数は なので、接線は である。これが を通るためには でなければならない。すなわち であり、 を得る。接点が領域 の の範囲にあるのは の方である。したがって である。
直線 は傾き1で、方程式は である。したがって直線 と点 の距離は である。また
であるから、三角形 の面積は
である。
よって 上で を最大にすればよい。 では であるから、 なら であり、 なら である。したがって最大値は であり、これは下側境界 、 上で実現する。
したがって面積の最大値は である。
(3)
は、点 と点 を結ぶ直線の傾きである。領域 では 、 なので、この値は0以上である。実際、 で値0をとる。
最大値を調べるには、点 から領域 へ引いた直線の傾きの最大を考えればよい。下側境界 上では傾きは1未満である。上側境界上では を考える。微分すると
である。領域の の範囲では、 で最大となる。そこで である。
よって求める範囲は である。
別解。(3)の最大値は(2)の接線から直接読める。点 から傾きを大きくしていくと、領域 に最後に接するのは上側放物線への接線 であり、その傾きは1である。下側境界へ向かう直線の傾きはいずれも1未満なので、最大値は1になる。