北海道大学 1982年度文理共通数学前期文系・理系第1問解答・解説

問題

平面の2定点を $A (1, 0)$ ， $B (2, 0)$ とし，直線 $y = m x$ $(m \neq = 0)$ を $l$ とする．

(1) 直線 $l$ に関する点 $B$ の対称点を求めよ．

(2) 直線 $l$ 上に点 $P$ を，線分の長さの和 $A P + P B$ が最小となるようにとる． $m$ が変化するとき，点 $P$ の描く図形を求めよ．

出典：北海道大学 1982年度前期日程第2次学力試験文理共通前期文系・理系第1問

方針

(1) は直線の方向ベクトルへの射影を用いて、点 $B$ から直線 $l$ へ下ろした足を先に求める。対称点は「足を中点とする点」なので、座標を最後まで成分で追う。(2) は最短経路の反射法を使い、 $P$ が $l$ 上にあるとき $P B = P B^{'}$ となることから、 $A P + P B$ を $A P + P B^{'}$ に置き換える。最小となる $P$ は直線 $A B^{'}$ と $l$ の交点であり、そこから $m$ を消去して円の一部を得る。最後に $m \neq = 0$ と有限の $m$ で到達しない点を確認する。

解答

{(1)直線 $l$ の方向ベクトルを $v = (1, m)$ とする。点 $B (2, 0)$ から $l$ へ下ろした足を $H$ とすると、 $H$ は $B$ の $v$ 方向への射影であるから

H = \frac{( 2 , 0 ) \cdot ( 1 , m )}{1 ^{2} + m ^{2}} (1, m) = (\frac{2}{1 + m ^{2}}, \frac{2 m}{1 + m ^{2}})

である。直線 $l$ に関する対称点を $B^{'}$ とすると、 $H$ は $B B^{'}$ の中点である。したがって $B^{'} = 2 H - B$ より

B^{'} = (\frac{4}{1 + m ^{2}} - 2, \frac{4 m}{1 + m ^{2}}) = (\frac{2 ( 1 - m ^{2} )}{1 + m ^{2}}, \frac{4 m}{1 + m ^{2}})

である。

(2)

(1) の対称点を $B^{'}$ とする。 $P$ が直線 $l$ 上にあるとき、対称性より $P B = P B^{'}$ であるから $A P + P B = A P + P B^{'}$ である。したがって $A P + P B$ を最小にする $P$ は、直線 $A B^{'}$ と直線 $l$ の交点である。ただし $A, B^{'}$ を結ぶ線分が $l$ と交わることを、計算の中で確認すればよい。

直線 $A B^{'}$ 上の点を $P = A + λ (B^{'} - A)$ とおく。ここで

B^{'} - A = (\frac{2 ( 1 - m ^{2} )}{1 + m ^{2}} - 1, \frac{4 m}{1 + m ^{2}}) = (\frac{1 - 3 m ^{2}}{1 + m ^{2}}, \frac{4 m}{1 + m ^{2}})

であるから $P = (1 + λ \frac{1 - 3 m ^{2}}{1 + m ^{2}}, λ \frac{4 m}{1 + m ^{2}})$ である。この点が $l : y = m x$ 上にある条件を用いる。 $m \neq = 0$ なので両辺を $m$ で割ると $\frac{4 λ}{1 + m ^{2}} = 1 + λ \frac{1 - 3 m ^{2}}{1 + m ^{2}}$ となる。よって $4 λ = 1 + m^{2} + λ (1 - 3 m^{2})$ であり、整理して $3 (1 + m^{2}) λ = 1 + m^{2}$ を得る。したがって $λ = \frac{1}{3}$ である。これは $0 < λ < 1$ を満たすので、交点は線分 $A B^{'}$ 上にある。ゆえに $P = (\frac{4}{3 ( 1 + m ^{2} )}, \frac{4 m}{3 ( 1 + m ^{2} )})$ である。 $P = (x, y)$ とおくと $x = \frac{4}{3 ( 1 + m ^{2} )}, y = \frac{4 m}{3 ( 1 + m ^{2} )}$ である。したがって

x^{2} + y^{2} = \frac{16 ( 1 + m ^{2} )}{9 ( 1 + m ^{2} ) ^{2}} = \frac{16}{9 ( 1 + m ^{2} )} = \frac{4}{3} x

となる。よって $(x - \frac{2}{3})^{2} + y^{2} = \frac{4}{9}$ である。

ただし $m \neq = 0$ だから $y \neq = 0$ であり、円上の点 $(4/3, 0)$ は含まれない。また有限の $m$ に対して $x = 4/ (3 (1 + m^{2})) > 0$ であるから、点 $(0, 0)$ も含まれない。逆に、この円上で $(0, 0)$ と $(4/3, 0)$ を除いた点は $x > 0$ かつ $y \neq = 0$ を満たすので、 $m = y / x$ とおけば上の表示で得られる。したがって求める図形は

(x - \frac{2}{3})^{2} + y^{2} = \frac{4}{9} のうち (0, 0), (4/3, 0) を除いた部分

である。}

北海道大学 1982年度文理共通数学 前期 文系・理系 第1問

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方針

解答

(2)

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