広島大学 2026年度文理共通数学第1問解答・解説

問題

大小 $2$ 個のさいころを投げ，出た目の最大値を得点とするゲームを「ゲームX」と呼ぶ。次の問いに答えよ。

(1) AさんがゲームXを行う。Aさんの得点が $5$ である確率を求め，既約分数で表せ。

(2) AさんがゲームXを行う。Aさんの得点が $5$ であるとき，大きいさいころの出た目が $5$ である条件付き確率を求め，既約分数で表せ。

(3) AさんがゲームXを行う。Aさんの得点の期待値を求め，既約分数で表せ。

(4) AさんとBさんがそれぞれゲームXを行う。Aさんの得点がBさんの得点より大きい確率を求め，既約分数で表せ。

出典：広島大学 2026年度前期文理共通第1問

得点が最大値で定まるので，得点 $k$ の確率を「両方が $k$ 以下」から「両方が $k - 1$ 以下」を引いて求める。(4)は同分布の対称性から，引き分け確率を先に出す。

得点が $5$ であるのは，両方の目が $5$ 以下で，かつ両方の目が $4$ 以下ではない場合である。したがって場合の数は

5^{2} - 4^{2} = 9

であり，求める確率は

\frac{9}{36} = \frac{1}{4}

である。

得点が $5$ である $9$ 通りのうち，大きいさいころの目が $5$ であるのは，小さいさいころの目が $1, 2, 3, 4, 5$ の $5$ 通りである。よって条件付き確率は

\frac{5}{9}

である。

得点が $k$ である確率は

\frac{k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2}}{36} = \frac{2 k - 1}{36} (k = 1, 2, \dots, 6)

である。したがって期待値は

k = 1 \sum 6 k \frac{2 k - 1}{36} = \frac{1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66}{36} = \frac{161}{36}

である。

AさんとBさんの得点は同じ分布であるから，Aさんの得点が大きい確率とBさんの得点が大きい確率は等しい。引き分けの確率は

\frac{1 ^{2} + 3 ^{2} + 5 ^{2} + 7 ^{2} + 9 ^{2} + 1 1 ^{2}}{3 6 ^{2}} = \frac{286}{1296} = \frac{143}{648}

である。よって求める確率は

\frac{1 - \frac{143}{648}}{2} = \frac{505}{1296}

である。