広島大学 2025年度文系数学第2問解答・解説

問題

$t > 0$ とする。また、 $a, b$ を実数とし、二つの関数

f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 4, g (x) = x^{2} + a x + b

を考える。座標平面上の二つの曲線 $C_{1} : y = f (x)$ 、 $C_{2} : y = g (x)$ は $x$ 座標が $t$ である共有点 $P$ をもち、かつ点 $P$ において共通の接線をもつとする。次の問いに答えよ。

(1) 関数 $y = f (x)$ の極値を求めよ。

(2) $a, b$ をそれぞれ $t$ を用いて表せ。

(3) $t > 0$ における関数

F (t) = \int_{0}^{1} {g (x) - f (x)} d x

の最小値を求めよ。

出典：広島大学 2025年度前期文系第2問

共通接線の条件は $g (t) = f (t)$ と $g^{'} (t) = f^{'} (t)$ で表す。これにより $a, b$ を $t$ で表し、 $F (t)$ に代入して三次関数の最小値を微分で調べる。

f^{'} (x) = - 3 x^{2} - 6 x = - 3 x (x + 2)

である。したがって $x = - 2$ で極小、 $x = 0$ で極大となる。値は

f (- 2) = 0, f (0) = 4

である。よって極小値は $0$ 、極大値は $4$ である。

共通点と共通接線の条件より

g (t) = f (t), g^{'} (t) = f^{'} (t)

である。まず

2 t + a = - 3 t^{2} - 6 t

より

a = - 3 t^{2} - 8 t

である。また

t^{2} + a t + b = - t^{3} - 3 t^{2} + 4

に代入して

b = 2 t^{3} + 4 t^{2} + 4

である。

g (x) - f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + a x + b - 4

であるから、

F (t) = \frac{1}{4} + \frac{4}{3} + \frac{a}{2} + b - 4

である。(2)を代入すると

F (t) = 2 t^{3} + \frac{5}{2} t^{2} - 4 t + \frac{19}{12}

である。微分すると

F^{'} (t) = 6 t^{2} + 5 t - 4 = (2 t - 1) (3 t + 4)

であり、 $t > 0$ では $t = \frac{1}{2}$ で最小となる。したがって最小値は

F (\frac{1}{2}) = \frac{11}{24}

である。