広島大学 2025年度文理共通数学文系第3問・理系第2問解答・解説

問題

$a > 0$ とし、 $p$ を実数とする。座標平面上の $3$ 点 $A (0, a)$ 、 $B (- 1, 0)$ 、 $C (1, 0)$ を考える。点 $P_{n}, Q_{n}, R_{n}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）が以下の二つの条件を満たすとする。

(i) 点 $P_{1}$ は直線 $A B$ 上にあり、 $x$ 座標が $p$ である。

(ii) 自然数 $n$ に対し、

・点 $P_{n}$ から $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸との交点が $Q_{n}$ である。ただし、点 $P_{n}$ が $x$ 軸上にあるときは、点 $Q_{n}$ は $P_{n}$ と同じ点であるとする。

・点 $Q_{n}$ から直線 $A C$ に下ろした垂線と直線 $A C$ との交点が $R_{n}$ である。ただし、点 $Q_{n}$ が直線 $A C$ 上にあるときは、点 $R_{n}$ は $Q_{n}$ と同じ点であるとする。

・点 $R_{n}$ を通り $x$ 軸と平行な直線と直線 $A B$ との交点が $P_{n + 1}$ である。

点 $P_{n}$ の $x$ 座標を $x_{n}$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 点 $R_{1}$ の座標を $a, p$ を用いて表せ。

(2) 命題「点 $P_{1}$ が線分 $A B$ 上にあるならば、点 $R_{1}$ は線分 $A C$ 上にある」が真であるような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、線分は両端を含むものとする。

(3) $x_{n}$ を $a, n, p$ を用いて表せ。

(4) $a = 2, p = 0$ であるとき、不等式

∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣ < 1 0^{- 10}

を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ とする。

出典：広島大学 2025年度前期文理共通文系第3問・理系第2問

方針

直線 $A C$ 上の点を $(s, a - a s)$ とおき，垂線条件を内積で表す。射影点 $R_{n}$ の高さから直線 $A B$ 上の次の点を求め，一次漸化式を作る。固定値との差を等比数列に直し，最後は厳密な対数評価で最小の $n$ を決める。

解答

1回の操作は， $P_{n} \to Q_{n}$ が鉛直， $Q_{n} \to R_{n}$ が $A C$ への垂線， $R_{n} \to P_{n + 1}$ が水平，という流れである。

図を準備中です。

(1)

直線 $A C$ 上の点を

(s, a - a s)

とおく。 $Q_{1} = (p, 0)$ から直線 $A C$ への垂線の足が $R_{1}$ であるから、 $(p - s, - a + a s)$ と $(1, - a)$ の内積は $0$ である。よって

(p - s) + a^{2} (1 - s) = 0

となり、

s = \frac{p + a ^{2}}{1 + a ^{2}}

である。したがって

R_{1} = (\frac{p + a ^{2}}{1 + a ^{2}}, \frac{a ( 1 - p )}{1 + a ^{2}})

である。

(2)

点 $P_{1}$ が線分 $A B$ 上にあることは $- 1 ≦ p ≦ 0$ と同値である。また、 $R_{1}$ が線分 $A C$ 上にあることは

0 ≦ \frac{p + a ^{2}}{1 + a ^{2}} ≦ 1

と同値である。右側の不等式は $- 1 ≦ p ≦ 0$ で常に成り立つ。左側の不等式がすべての $- 1 ≦ p ≦ 0$ で成り立つための条件は、 $p = - 1$ でも $p + a^{2} ≧ 0$ となることである。したがって，この命題が真であるための必要十分条件は

a ≧ 1

である。

(3)

(1)と同様に、 $Q_{n} = (x_{n}, 0)$ から下ろした垂線の足 $R_{n}$ は

R_{n} = (\frac{x _{n} + a ^{2}}{1 + a ^{2}}, \frac{a ( 1 - x _{n} )}{1 + a ^{2}})

である。直線 $A B$ は $y = a (x + 1)$ であるから、 $R_{n}$ を通る水平線との交点の $x$ 座標は

a (x_{n + 1} + 1) = \frac{a ( 1 - x _{n} )}{1 + a ^{2}}

を満たす。したがって

x_{n + 1} = \frac{- x _{n} - a ^{2}}{1 + a ^{2}}

である。この漸化式の固定値は

ℓ = - \frac{a ^{2}}{a ^{2} + 2}

であり、

x_{n + 1} - ℓ = - \frac{1}{1 + a ^{2}} (x_{n} - ℓ)

となる。 $x_{1} = p$ より

x_{n} = - \frac{a ^{2}}{a ^{2} + 2} + (- \frac{1}{1 + a ^{2}})^{n - 1} (p + \frac{a ^{2}}{a ^{2} + 2})

である。

(4)

$a = 2, p = 0$ のとき

x_{n} = - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{5})^{n - 1}

である。したがって

∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣ = \frac{4}{5 ^{n}}

となる。求める条件は

5^{n} > 4 \cdot 1 0^{10}

である。常用対数をとると

n lo g_{10} 5 > lo g_{10} 4 + 10

である。 $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2 = 0.6990$ 、 $lo g_{10} 4 = 0.6020$ より

n > \frac{10.6020}{0.6990}

となる。 $15 \cdot 0.6990 = 10.4850$ 、 $16 \cdot 0.6990 = 11.1840$ であるから、最小の自然数は

16

である。

広島大学 2025年度文理共通数学 文系第3問・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2025年度
文理共通数学文系第3問・理系第2問