広島大学 2024年度文理共通数学第2問（理系）・第3問（文系）解答・解説

問題

座標空間内の $4$ 点 $O (0, 0, 0)$ 、 $A (1, 1, 0)$ 、 $B (0, 1, 1)$ 、 $C (1, 2, - 1)$ に対し、 $O A = a$ 、 $O B = b$ 、 $O C = c$ とおく。次の問いに答えよ。

(1) 内積 $a \cdot b$ 、 $a \cdot c$ 、 $b \cdot c$ の値を求めよ。

(2) 点 $O, A, B$ を通る平面を $α$ とする。点 $C$ から平面 $α$ に下ろした垂線と平面 $α$ の交点を $M$ とする。点 $M$ の座標を求めよ。

(3) 点 $M$ を(2)で定めた点とする。点 $D$ を直線 $C M$ 上の点であって

∣ A C ∣ = ∣ A D ∣

となるものとする。ただし、点 $D$ は点 $C$ とは異なる点である。このとき、点 $D$ の座標を求めよ。

(4) 点 $D$ を(3)で定めた点とする。三角形 $C A D$ の面積 $S$ を求めよ。

出典：広島大学 2024年度前期文理共通第2問（理系）・第3問（文系）

方針

解法1（標準解法）

垂線の足 $M$ を平面 $O A B$ の2本の基底ベクトルで表し、 $C M$ との直交条件から係数を決める。 $D$ は直線 $C M$ 上で距離条件を満たす点として求め、底辺 $C D$ と高さ $A M$ で面積を計算する。

解法2（平面の方程式と鏡映）

平面 $O A B$ の法線ベクトルを直接求め、平面の方程式から $C$ の正射影 $M$ を得る。 $A$ が平面上にあることを利用すると、 $C$ と平面対称な点が距離条件を満たすもう一つの点 $D$ である。最後は外積で面積を独立に検算する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 1), c = (1, 2, - 1)

である。したがって

a \cdot b = 1, a \cdot c = 3, b \cdot c = 1

である。

(2)

$M$ は平面 $α$ 上にあるから

O M = s a + t b

とおける。すなわち

M = (s, s + t, t)

である。 $C M$ は平面 $α$ に垂直であるから、 $C M \cdot a = 0$ 、 $C M \cdot b = 0$ である。これより

2 s + t = 3, s + 2 t = 1

を得る。したがって

s = \frac{5}{3}, t = - \frac{1}{3}

であり、

M = (\frac{5}{3}, \frac{4}{3}, - \frac{1}{3})

である。

(3)

$D$ は直線 $C M$ 上にあるから

D = M + λ (C - M)

とおく。 $C - M = (- \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, - \frac{2}{3})$ であるから、

D - A = (\frac{2 - 2 λ}{3}, \frac{1 + 2 λ}{3}, \frac{- 1 - 2 λ}{3})

である。 $∣ A C ∣^{2} = 2$ であり、条件 $∣ A D ∣^{2} = 2$ は

\frac{( 2 - 2 λ ) ^{2} + ( 1 + 2 λ ) ^{2} + ( - 1 - 2 λ ) ^{2}}{9} = 2

である。これを整理すると $λ^{2} = 1$ となる。 $λ = 1$ は点 $C$ を表すので、 $D \neq = C$ より $λ = - 1$ である。したがって

D = 2 M - C = (\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})

である。

(4)

直線 $C M$ は平面 $α$ に垂直であり、点 $A, M$ は平面 $α$ 上にあるから、 $A M$ は直線 $C D$ への高さである。ここで

C M = \frac{2}{3}, C D = 2 C M = \frac{4}{3}

であり、

A M = (\frac{2}{3})^{2} + (\frac{1}{3})^{2} + (- \frac{1}{3})^{2} = \frac{6}{3}

である。よって

S = \frac{1}{2} \cdot C D \cdot A M = \frac{2 2}{3}

である。

解法2（平面の方程式と鏡映）

(1)

a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 1), c = (1, 2, - 1)

より

a \cdot b = 1, a \cdot c = 3, b \cdot c = 1 .

(2)

平面 $α$ の法線ベクトルとして

n = (1, - 1, 1)

をとれる。実際、 $n \cdot a = n \cdot b = 0$ である。平面は原点を通るので、その方程式は

x - y + z = 0.

$C = (1, 2, - 1)$ における左辺の値は $- 2$ 、また $∣ n ∣^{2} = 3$ である。したがって $C$ から平面への正射影は

M = C - \frac{n \cdot C}{∣ n ∣ ^{2}} n = (1, 2, - 1) + \frac{2}{3} (1, - 1, 1) = (\frac{5}{3}, \frac{4}{3}, - \frac{1}{3}) .

(3)

$A$ は平面 $α$ 上にあり、 $C M ⊥ α$ である。そこで $C$ を平面 $α$ に関して対称移動した点

D = 2 M - C = (\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})

を考える。平面対称は平面上の点 $A$ からの距離を保つので

∣ A D ∣ = ∣ A C ∣.

また $C, M, D$ は一直線上にあり、 $D \neq = C$ であるから、これは条件を満たす求める点である。よって

D = (\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}) .

(4)

外積で独立に面積を求める。

A C = (0, 1, - 1), A D = (\frac{4}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) .

したがって

A C \times A D = (0, - \frac{4}{3}, - \frac{4}{3})

であり、その大きさは $42 /3$ である。よって

S = \frac{1}{2} A C \times A D = \frac{2 2}{3} .

広島大学 2024年度文理共通数学 第2問（理系）・第3問（文系）

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（平面の方程式と鏡映）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（平面の方程式と鏡映）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2024年度
文理共通数学第2問（理系）・第3問（文系）