広島大学 2023年度文理共通数学第1問解答・解説

問題

箱の中に $1$ から $N$ までの番号が一つずつ書かれた $N$ 枚のカードが入っている．ただし， $N$ は $4$ 以上の自然数である．「この箱からカードを $1$ 枚取り出し，書かれた番号を見てもとに戻す」という試行を考える．この試行を $4$ 回繰り返し，カードに書かれた番号を順に $X,$ $Y,$ $Z,$ $W$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $X = Y = Z = W$ となる確率を求めよ．(2)　 $X,$ $Y,$ $Z,$ $W$ が四つの異なる番号からなる確率を求めよ．(3)　 $X,$ $Y,$ $Z,$ $W$ のうち三つが同じ番号で残り一つが他と異なる番号である確率を求めよ．(4)　 $X,$ $Y,$ $Z,$ $W$ が三つの異なる番号からなる確率を求めよ．

出典：広島大学 2023年度前期文理共通第1問

方針

全事象を順序つきの4回の結果として数え，総数を $N^{4}$ とする。同じ番号の個数の分布ごとに，番号の選び方と位置の選び方を分けて数える。

解答

(1)

全事象は $N^{4}$ 通りである。4回とも同じ番号である場合は，その番号の選び方が $N$ 通りであるから，求める確率は

\frac{N}{N ^{4}} = \frac{1}{N ^{3}}

である。

(2)

4回で互いに異なる番号が出る場合は，順に番号を選ぶと

N (N - 1) (N - 2) (N - 3)

通りである。したがって求める確率は

\frac{N ( N - 1 ) ( N - 2 ) ( N - 3 )}{N ^{4}} = \frac{( N - 1 ) ( N - 2 ) ( N - 3 )}{N ^{3}}

である。

(3)

3回出る番号を選ぶ方法が $N$ 通り，残り1回に出る番号を選ぶ方法が $N - 1$ 通り，その残り1回の位置が4通りである。よって求める確率は

\frac{4 N ( N - 1 )}{N ^{4}} = \frac{4 ( N - 1 )}{N ^{3}}

である。

(4)

4回のうち，ちょうど1組だけ同じ番号になる。2回出る番号の選び方が $N$ 通り，その位置の選び方が $_{4} C_{2} = 6$ 通り，残り2か所に入る異なる番号の選び方が順序も含めて $(N - 1) (N - 2)$ 通りである。したがって求める確率は

\frac{6 N ( N - 1 ) ( N - 2 )}{N ^{4}} = \frac{6 ( N - 1 ) ( N - 2 )}{N ^{3}}

である。

広島大学 2023年度文理共通数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2023年度
文理共通数学第1問