広島大学 2022年度
文理共通数学 第3問

$n$を自然数とする．袋の中に赤玉が$3$個，白玉が$(n+5)$個，合計で$(n+8)$個の玉が入っている．また，空箱$A,$$B,$$C,$$D,$$E,$$F$が用意されている．この準備の下で次の試行１，試行２を順に行う．試行１　袋から玉を$1$個取り出して，箱$A$に入れる．箱$A$に入れた玉が白玉なら$i=0,$赤玉なら$i=1$とおく．試行２　次に，袋から白玉を$n$個取り出して，箱$B$に入れる．この時点で，袋に残った玉$7$個のうち，赤玉は$(3-i)$個，白玉は$(4+i)$個である．この$7$個の中から$2$個の玉を取り出して，箱$C$に入れる．試行２を終えたら，箱$A$と箱$C$の玉の色を記録して，箱$A,$$B,$$C$の玉をすべて元通り袋に戻す．そして次の試行３を行う．試行３　袋から玉を$1$個取り出して，箱$D$に入れる．次に，袋から玉を$n$個取り出して，箱$E$に入れる．最後に袋から玉を$2$個取り出して，箱$F$に入れる．このとき，次の問いに答えよ．(1)　$i=0$であったとき，試行２において箱$C$に赤玉が$2$個入る条件付き確率$p_0$を求めよ．また，$i=1$であったとき，試行２において箱$C$に赤玉が$2$個入る条件付き確率$p_1$を求めよ．(2)　試行１において，箱$A$に赤玉が入る確率$q_A$を$n$を用いて表せ．また，試行１，試行２を順に行うとき，箱$C$に赤玉が$2$個入る確率$q_C$を$n$を用いて表せ．(3)　試行３において，箱$D$に赤玉が入るという事象を事象$X,$箱$E$に入る玉がすべて白であるという事象を事象$Y,$箱$F$に赤玉が$2$個入るという事象を事象$Z$と呼ぶことにする．事象$X$と事象$Y$がともに起こる確率$P(X\cap Y)$を$n$を用いて表せ．また，事象$Y$と事象$Z$がともに起こる確率$P(Y\cap Z)$を$n$を用いて表せ．(4)　(3)の事象$Y$が起こったとき，(3)の事象$X$が起こる条件付き確率$P_Y(X)$と，(3)の事象$Z$が起こる条件付き確率$P_Y(Z)$をそれぞれ求めよ．