広島大学 2021年度理系数学第5B問解答・解説

問題

座標平面において， $O (0, 0),$ $A (4, 0),$ $P (3, 0)$ とする．線分 $O A$ に点 $P$ で接する円 $C$ を内接円とする $△ O A B$ を考える．ただし，円 $C$ の中心は第 $1$ 象限にあるとする．次の問いに答えよ．(1)　 $O B$ と $A B$ の差は一定であることを証明せよ．(2)　円 $C$ の半径を $r$ とするとき， $r$ のとる値の範囲を求めよ．(3)　 $r$ が(2)の範囲で変化するとき，点 $B$ の軌跡の方程式を求めよ．また，その概形をかけ．

出典：広島大学 2021年度前期理系第5B問

方針

接線の長さが同じであることから，辺 $O A$ 上の接点 $P$ に対して $O P = 3, A P = 1$ を使い， $O B - A B$ を求める。半径の範囲は，頂点 $B$ からの接線長を文字で置いて面積公式 $K = r s$ とヘロン型の計算で求める。軌跡は $O B - A B = 2$ を焦点差一定の式として座標化する。

解答

(1)

内接円が $O A$ と接する点が $P$ であり， $O P = 3, A P = 1$ である。接点までの2本の接線の長さは同じなので，頂点 $B$ から内接円への接線の長さを $x$ とおくと

O B = 3 + x, A B = 1 + x

である。よって

O B - A B = 2

であり，一定である。

(2)

(1)の $x$ を用いると，三角形の3辺は $4, 3 + x, 1 + x$ であり，半周長は $x + 4$ である。面積を $K$ とすると，内接円の半径が $r$ であるから

K = (x + 4) r

である。一方，辺の長さから

K^{2} = (x + 4) x \cdot 1 \cdot 3 = 3 x (x + 4)

である。したがって

r^{2} = \frac{3 x}{x + 4}

である。 $x > 0$ より

0 < r < 3

である。

(3)

$B = (X, Y)$ とおく。 $B$ は $x$ 軸より上にあるので $Y > 0$ である。(1)より

X^{2} + Y^{2} - (X - 4)^{2} + Y^{2} = 2

である。これを整理すると

(X - 2)^{2} - \frac{Y ^{2}}{3} = 1

を得る。さらに差が正であるから右側の枝であり， $Y > 0$ も合わせて

(X - 2)^{2} - \frac{Y ^{2}}{3} = 1, X > 3, Y > 0

である。概形は，中心が $(2, 0)$ ，頂点が $(3, 0)$ ，漸近線が $Y = \pm 3 (X - 2)$ である双曲線の右上の枝である。

広島大学 2021年度理系数学 第5B問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2021年度
理系数学第5B問