広島大学 2021年度文系数学第4問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．(1)　 $A = sin x$ とおく． $sin 5 x$ を $A$ の整式で表せ．(2)　 $sin^{2} \frac{π}{5}$ の値を求めよ．(3)　曲線 $y = cos 3 x$ （ $x ≧ 0$ ）と曲線 $y = cos 7 x$ （ $x ≧ 0$ ）の共有点の $x$ 座標を小さい方から順に $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $\dots$ とする．このとき，関数 $y = cos 3 x$ （ $x_{5} ≦ x ≦ x_{6}$ ）の値域を求めよ．

出典：広島大学 2021年度前期文系第4問

方針

加法定理を繰り返して $sin 5 x$ を $sin x$ の式に直す。(2)では $x = \frac{π}{5}$ を代入し，値の大小で根を選ぶ。(3)では $cos 3 x = cos 7 x$ を解き，最初の共有点を並べてから該当区間で $cos 3 x$ の最大最小を読む。

解答

(1)

$A = sin x$ とおく。加法定理と $cos^{2} x = 1 - A^{2}$ より整理すると

sin 5 x = 16 A^{5} - 20 A^{3} + 5 A

である。

(2)

$x = \frac{π}{5}$ とすると $sin 5 x = 0$ ，かつ $sin x \neq = 0$ である。 $u = sin^{2} \frac{π}{5}$ とおくと，(1)より

16 u^{2} - 20 u + 5 = 0

である。したがって

u = \frac{5 \pm 5}{8}

である。 $0 < \frac{π}{5} < \frac{π}{4}$ より $0 < u < \frac{1}{2}$ だから，

sin^{2} \frac{π}{5} = \frac{5 - 5}{8}

である。

(3)

$cos 3 x = cos 7 x$ より

3 x = 7 x + 2 k π または 3 x = - 7 x + 2 k π

である。したがって， $x ≧ 0$ の共有点の $x$ 座標は， $\frac{π}{2}$ の非負整数倍と $\frac{π}{5}$ の非負整数倍を合わせたものである。小さい方から

0, \frac{π}{5}, \frac{2 π}{5}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{5}, \frac{4 π}{5}, \dots

となるから， $x_{5} = \frac{3 π}{5}, x_{6} = \frac{4 π}{5}$ である。この区間で $3 x$ は $\frac{9 π}{5} ≦ 3 x ≦ \frac{12 π}{5}$ を動くので，最大値は $3 x = 2 π$ のときの $1$ ，最小値は右端の

cos \frac{12 π}{5} = cos \frac{2 π}{5} = \frac{5 - 1}{4}

である。よって値域は

\frac{5 - 1}{4} ≦ y ≦ 1

である。

広島大学 2021年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2021年度
文系数学第4問