広島大学 2019年度理系数学第4問解答・解説

問題

$i$ を虚数単位とし，複素数 $z$ に対して， $w = z^{2} + 2 z + 1 - 2 i$ とおく．次の問いに答えよ．(1)　 $w$ の実部が $0$ となる複素数 $z$ 全体を複素数平面上に図示せよ．(2)　 $w = 0$ を満たす複素数 $z$ の個数は $2$ 個であることを証明し，それぞれを $a + bi$ （ $a,$ $b$ は実数）の形に書き表せ．(3)　(2)で求めた二つの複素数のうち実部の大きい方を $α,$ 実部の小さい方を $β$ とし，対応する複素数平面上の点をそれぞれ $A,$ $B$ とする．また，線分 $A B$ の中点を $M$ とする．複素数 $z$ に対応する複素数平面上の点が，線分 $A M$ 上（両端を含む）を動くとき，複素数 $w$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ．(4)　複素数 $z$ に対応する複素数平面上の点が，点 $A$ を通り線分 $A B$ に垂直な直線上を動くとき，複素数 $w$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ．

出典：広島大学 2019年度前期理系第4問

方針

$z = x + y i$ として $w$ の実部・虚部を計算する。平方根は $z + 1 = u + v i$ と置いて実部虚部比較で求める。線分や直線上の点は実パラメータで表し， $w$ の軌跡を座標で読む。

解答

(1)

$z = x + y i$ とおくと

w = (x + 1 + y i)^{2} - 2 i

であるから， $w$ の実部は $(x + 1)^{2} - y^{2}$ である。よって実部が $0$ となる点は

y = x + 1 または y = - x - 1

を満たす。したがって，求める図形はこの二直線である。

(2)

$w = 0$ は $(z + 1)^{2} = 2 i$ と同値である。 $z + 1 = u + v i$ とおくと

u^{2} - v^{2} = 0, 2 uv = 2

である。 $u^{2} = v^{2}$ より $u = v$ または $u = - v$ であるが， $uv = 1$ より $u = - v$ は不可能である。したがって $u = v$ ， $u^{2} = 1$ であり，

z = i, z = - 2 - i

を得る。よって解は2個である。

(3)

実部の大きい方は $α = i$ ，小さい方は $β = - 2 - i$ である。線分 $A B$ の中点は $M$ に対応する複素数 $- 1$ である。点が線分 $A M$ 上を動くとき，実数 $s$ を用いて

z = i + s (- 1 - i) (0 ≦ s ≦ 1)

と表せる。このとき

z + 1 = (1 - s) (1 + i)

であるから

w = 2 {(1 - s)^{2} - 1} i

である。よって $w$ は虚軸上を動き，実部は $0$ ，虚部は $0$ から $- 2$ までの値をとる。すなわち， $0$ と $- 2 i$ を結ぶ線分である。

(4)

点 $A$ を通り線分 $A B$ に垂直な直線は，実数 $s$ を用いて

z = i + s (1 - i)

と表せる。このとき

z + 1 = (1 + s) + (1 - s) i

であるから

w = 4 s - 2 s^{2} i

である。 $w = X + Y i$ と書くと $X = 4 s$ ， $Y = - 2 s^{2}$ なので

Y = - \frac{X ^{2}}{8}

である。したがって，求める図形は原点を頂点とし，虚部が負の向きに開く放物線である。

広島大学 2019年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2019年度
理系数学第4問