広島大学 2019年度文系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上の二つの曲線 $C : y = x^{3},$ $C^{'} : y = 8 x^{3}$ と曲線 $C$ 上の点 $P_{1} (1, 1)$ を考える．点 $P_{1}$ を通り $x$ 軸と平行な直線と曲線 $C^{'}$ の交点を $Q_{1}$ とし，点 $Q_{1}$ を通り $y$ 軸と平行な直線と曲線 $C$ の交点を $P_{2}$ とする．次に，点 $P_{2}$ を通り $x$ 軸と平行な直線と曲線 $C^{'}$ の交点を $Q_{2}$ とし，点 $Q_{2}$ を通り $y$ 軸と平行な直線と曲線 $C$ の交点を $P_{3}$ とする．このように，自然数 $n$ に対して，点 $P_{n}$ を通り $x$ 軸と平行な直線と曲線 $C^{'}$ の交点を $Q_{n}$ とし，点 $Q_{n}$ を通り $y$ 軸と平行な直線と曲線 $C$ の交点を $P_{n + 1}$ とする．点 $P_{n}$ の $x$ 座標を $a_{n}$ とおく．次の問いに答えよ．(1)　 $a_{n}$ を $n$ を用いて表せ．(2)　点 $P_{n + 1}$ における曲線 $C$ の接線，直線 $x = a_{n}$ および曲線 $C$ で囲まれる部分のうち， $a_{n + 1} ≦ x ≦ a_{n}$ の領域にある面積を $S_{n}$ とする． $S_{n}$ を $n$ を用いて表せ．(3)　 $T_{n} = S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}$ とおく． $T_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

出典：広島大学 2019年度前期文系第3問

方針

点の作り方から $a_{n + 1} = a_{n} /2$ を得る。面積は $P_{n + 1}$ における接線と $y = x^{3}$ の差を $x = a_{n + 1}$ から $x = a_{n}$ まで積分し，最後に等比数列の和を用いる。

解答

(1)

$P_{n} = (a_{n}, a_{n}^{3})$ とする。 $P_{n}$ を通る水平線と $C^{'} : y = 8 x^{3}$ の交点 $Q_{n}$ の $x$ 座標は

8 x^{3} = a_{n}^{3}

より $x = \frac{a _{n}}{2}$ である。したがって $P_{n + 1}$ の $x$ 座標も $\frac{a _{n}}{2}$ であり，

a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2}, a_{1} = 1

である。よって

a_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}

である。

(2)

$b = a_{n + 1}$ とおくと， $a_{n} = 2 b$ である。曲線 $C : y = x^{3}$ の点 $(b, b^{3})$ における接線は

y = 3 b^{2} x - 2 b^{3}

である。したがって

S_{n} = \int_{b}^{2 b} {x^{3} - (3 b^{2} x - 2 b^{3})} d x = \frac{5}{4} b^{4}

である。 $b = a_{n + 1} = 2^{- n}$ より

S_{n} = \frac{5}{2 ^{4 n + 2}}

である。

(3)

(2)より $S_{n} = \frac{5}{64} (\frac{1}{16})^{n - 1}$ であるから，等比数列の和より

T_{n} = \frac{5}{64} \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{16} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{1}{12} (1 - \frac{1}{1 6 ^{n}})

である。

広島大学 2019年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2019年度
文系数学第3問