問題
原点をとする座標平面上において，点および軸上の正の部分を動く点があり，は鈍角でないとする．の垂心を頂点から辺に下ろした垂線と辺との交点を頂点から辺に下ろした垂線と辺との交点をとする．次の問いに答えよ．ただし，三角形の各頂点から対辺，またはその延長に下ろした本の垂線は点で交わることが知られている．その交点のことを，三角形の垂心という．(1) が直角となるの値を求めよ．(2) 点の座標をを用いて表せ．以下では，が(1)で求めた値よりも大きい値をとるとする．(3) 点がの内心であることを証明せよ．ただし，組の対角の和がである四角形は円に内接することを，証明なしに利用してもよい．(4) の内接円の半径をを用いて表せ．
出典：広島大学 2019年度 前期 文理共通 第4問
方針
直角条件は で求める。 を座標で表し， から への距離が等しいことを示して内心であることを証明する。半径はその共通距離として求める。
解答
(1)
， である。 が直角である条件は
であるから， より
である。
(2)
は 軸上にあるので，点 から に下ろす垂線は 軸である。また， の傾きは だから， を通り に垂直な直線は
である。これと 軸との交点が垂心 であるから
である。
(3)
とする。計算すると
である。 から直線 までの距離は
である。同様に，直線 までの距離も同じ値になる。
また，直線 の傾きは であるから， から直線 までの距離も
である。 のとき は 軸の下側， は上側にあり， は の内部にある。したがって， は の三辺から等距離にある内部の点であり， の内心である。
(4)
(3)で求めた共通距離が内接円の半径である。よって半径は
である。